宝宝巴士第三集. 把之前的内容重新整合了一下, 配上了Weil对他的猜想在curve 情况下的证明懒得改之前的typo 了:(

宝宝巴士第一集: 学会Riemann Hypothesis.
宝宝巴士第二集: 证明Hasse Weil Bound.
宝宝巴士第三集: 证明nonsingular curve上的Riemann Hypothesis.
宝宝巴士第四集: 证明Weil Conjecture.

本文为2024年暑假我于HKUST作的summer research program报告chaoshubiji. 在此我希望对港科的Li Weiping老师表示由衷的感谢. Li教授在代数几何方面学问广博, 平易近人, 他的教学深明大义, 向我揭示了模空间这一宏伟理论的一隅. 我因为水平有限, 难以形成自己的成果, 只能抄书作为报告, 实在惭愧.

以下是introduction 的部分简译:

模空间的存在性长期以来都作为代数几何的研究热点. 我们对是否存在一类能够"参数化"几何对象的空间感兴趣, 更进一步的, 如果这类空间存在, 它是否能够作为scheme? 它是否proper? coherent sheaf over $X$ 的模空间 $\mathfrak{M}$ 蕴含了许多$X$ 本身的几何信息. 然而, $\mathfrak{M}$ 并不总是存在. 许多情况下, 我们想要参数化的一族对象过"大", 导致 $\mathfrak{M}$ 无法成为scheme, 因此我们希望研究有某些特殊性质的coherent sheaf 构成的模空间. 本文讨论的主要为具有固定的Hilbert polynomial 的一族torsion-free sheaf 形成的模空间. 而想要研究这一类模空间, 首先要解决的问题是$\mathfrak{F}$ 这一族coherent sheaf是否有界, 也就是当模空间$\mathfrak{M}$存在时, 它是否是finite type over base field的.

WARNING: 本文可能不适合人类阅读, 因为有着一堆跳步以及个人记号.

这篇文章来自于我对moduli space 的一些初步了解. 主要抄了 Birkar 的 Topics in Algebraic Geometry 以及Harvard 的MATH259 的notes.

何谓moduli space? Fine moduli space $\mathcal{M}$ 即是对moduli functor $F$ 的一个representative. 说人话就是对于任意 scheme $T$ over base $S$, 我们有 $F(T)\cong \mathcal{M}(T)$, 这里$\mathcal{M}(T)$ 是 $T$-points of $\mathcal{M}$. 我们同时可以考虑$\mathcal{M}(\mathcal{M})$ 中的$id_{\mathcal{M}}$ 以及其所对应的$F(\mathcal{M})$ 中的元素$\mathfrak{U}$, 这个$\mathfrak{U}$ 叫做universal family. 取出这个$\mathfrak{U}$ 有什么好处呢? 如果我们考虑$F(T)$ 中的另一个元素$\mathfrak{V}$, 通过一个类似Yoneda lemma 的讨论, 可以证明$\mathfrak{V}$ 是$\mathfrak{U}$ 的一个通过$\mathcal{M}(T)$ 中的某一个点的pullback, 即这些元素和fibre 能够做出一个对应.

本文中讨论的Hilbert scheme 以及 Quot scheme 就是最为简单的fine moduli space 的例子, 这部分工作被记录与Grothendieck 的FGA. 同样也可以想一想如果把global section functor 作为一个moduli functor, 那么它是否存在fine moduli space 呢? 如果存在, 这个space 是什么以及上面的universal family 又是什么呢?

Ans: $\mathbb{A}_{S}^{1}$ and $x\in \mathcal{O}_{S}[x]$.

以下是我2024年春季于UC Berkeley 上的MATH256B Algebraic Geometry的一些课程资料.

我不确定是否能将课程作业的答案公开, 如果这些文件侵犯了您的利益请联系我进行删除.

2024 Spring 的代数几何由Prof. Paul Vojta 讲授, 参考教材为Hartshorne 的巨著Algebraic Geometry. Prof. Vojta 大概讲授了 II 6 以及III 1-9 节的内容.

图片为Prof. Vojta 的代表作之一, Mordell 猜想的Diophantine Approximation 证明.

Hartshorne Algebraic Geometry Section 1.8.

Presentation 定理二号, Krull PIT 是维数理论中十分重要的一个定理. 用它可以刻画出Noetherian scheme 上的tangent space 的维数大于等于局部维数的性质, 从而定义那些nonsingular 的点. Hartshorne 第一章就有这个定理, 关于tangent space的讨论则被藏在了习题5.10 里面. 值得注意的是Hartshorne 定理1.8A是一个非常不平凡的结果, 这个定理对于finitely generated $k$ algebra成立, 然而对于一般的catenary ring, 即任何prime ideal chain 长度相等的ring 却不一定成立, 也挺有意思的.

Matsumura 抄书系列. Chevalley 定理是这学期课程里面的某一个presentation内容. 对于一般的情况下, 一个morphism 不一定把一个algebraic set 映射到algebraic set, 但是一个finite type morphism 却能保持constructible sets. 在affine space上的结论就是这个定理的直接推论, 证明起来更简单一些.