Flat module 的第一部分内容, 主要是一部分的判别法. Flatness的性质确实十分多, 并且也没有injective 和projective 那么直观. Atiyah 中还有一个很重要的结果是colimit 会保持exact sequence, 并且colimit 可以和Tor进行交换. 这只是flatness 很小的一部分东西.

Injective 是projective 的对偶, 但是在问题的处理上却复杂得多. 核心原因是我们在处理projective module 时是去寻找一个打到它的满射, 而injective module 则是需要寻找一个从它出发的单射. Zorn引理在这里具有很强的效果. Baer 判别法也是一个很有效的工具.

一些很简单的projective module的内容, 比较有意思的是最后一个定理. 这个这个定理给出了local ring上的finite generated projective module一定是free的. 这是Kaplanski定理的一个特殊情况, 在这里的证明使用了Nakayama引理数维数.

(头图快不够了, 估计以后要用美少女来代替了 (ㄒoㄒ)/)

这次是kunneth formula, 以及kunneth formula的直接推论, 同调万有系数定理和上同调万有系数定理. 没有学过代数拓扑所以基本上是从直观角度理解这个几个定理: 上同调万有系数定理应用比较直观, 直接给出了homology和cohomology之间的计算以及转换关系. 同调万有系数定理我觉得是在说这样一件事: 在改变定义同调时使用的系数环的情况下同调会发生什么样的变化. 这几个定理的证明说简单也简单, 也就是导出长正合列之后计算的事, 但是说复杂也很复杂, 这几个kernel都不是人算的. 这应该是一辈子只需要证明一次的定理, 使用比证明更加重要. P.S. kunneth formula 的证明可能有一点bug.(；′⌒`)

这部分是double complex的一些内容, 内容比较少, 主要就是为了给后面的kunneth formula有个基本的定义啥的, 不考虑Tot函子的整体性质整块内容也没啥需要证明的, 摸了.👻 Stack Project 里面有很全的内容.

Yoneda lemma的同调代数版本. 这是个很神奇的事情, 可以通过natural transformation 和Ext函子来计算一些函子的左导出函子. 整体的证明参考了论文The Yoneda isomorphism commutes with homology

这一节Ext函子和Tor函子, 大部分内容是上一章的直接推论, 唯一一个不平凡的定理择时对双函子Hom导出会得到相同的结果. 本节后半部分是关于这俩导出函子的计算的, 这俩函子的计算十分富有技巧性, 全写上来会很长. 最后部分的表格参考了Xiong Rui的小册子.

就着懒狗的本性, abelian category的内容就不抄上来了, 反正abelian category都是大家熟知的一些内容. 😊

Homological algebra里的经典导出函子理论, 主要抄书参考 gtm4, 这一节暂时没有涉及到导出函子的计算理论, 以后有空补上. (；′⌒`)

Resolution, 构造projective, injective, free和flat解消能够用来计算一系列导出函子. Resolution也是定义导出函子的前置. 这一节主要考虑projective resolution.