啥都能水系列

茴字的四种写法之Nakayama lemma. 大定理的最后几个部分和一般的Nakayama lemma (finite 版本)差的有点远了, 但是还是抄上来了.

啥都能水系列

Absolutely flatness 是使得任意module flat 的环, 并没有找到很多的absolutely flat 环, 常见的例子还是有field 和Boolean ring. Absolutely flatness 最大的特征是对任意极大理想局部化后是一个field. 同时absolutely flatness 和Zariski topology 的分离性有很强的关系.

Faithfully flat module 简单理解就是将tensor 前的序列的正合性等价于tensor 后序列的正合性. 比较好的判别法有: tensor非零module 后依旧非零. 在代数几何里面faithfully flatness 可以用来构造平坦下降~~(虽然我不会)~~

Flat module 的第一部分内容, 主要是一部分的判别法. Flatness的性质确实十分多, 并且也没有injective 和projective 那么直观. Atiyah 中还有一个很重要的结果是colimit 会保持exact sequence, 并且colimit 可以和Tor进行交换. 这只是flatness 很小的一部分东西.

Injective 是projective 的对偶, 但是在问题的处理上却复杂得多. 核心原因是我们在处理projective module 时是去寻找一个打到它的满射, 而injective module 则是需要寻找一个从它出发的单射. Zorn引理在这里具有很强的效果. Baer 判别法也是一个很有效的工具.

一些很简单的projective module的内容, 比较有意思的是最后一个定理. 这个这个定理给出了local ring上的finite generated projective module一定是free的. 这是Kaplanski定理的一个特殊情况, 在这里的证明使用了Nakayama引理数维数.

(头图快不够了, 估计以后要用美少女来代替了 (ㄒoㄒ)/)

微分流形初步的单位分解定理, 这个定理本质上是流形paracompactness所带来的结论. 它提供了一种通过乘上partition of unity函数的方式来将locally smooth的函数粘贴成global smooth的函数的方式. 下面的Whitney approximation theorem便是一个直接的例子.

这次是kunneth formula, 以及kunneth formula的直接推论, 同调万有系数定理和上同调万有系数定理. 没有学过代数拓扑所以基本上是从直观角度理解这个几个定理: 上同调万有系数定理应用比较直观, 直接给出了homology和cohomology之间的计算以及转换关系. 同调万有系数定理我觉得是在说这样一件事: 在改变定义同调时使用的系数环的情况下同调会发生什么样的变化. 这几个定理的证明说简单也简单, 也就是导出长正合列之后计算的事, 但是说复杂也很复杂, 这几个kernel都不是人算的. 这应该是一辈子只需要证明一次的定理, 使用比证明更加重要. P.S. kunneth formula 的证明可能有一点bug.(；′⌒`)

这部分是double complex的一些内容, 内容比较少, 主要就是为了给后面的kunneth formula有个基本的定义啥的, 不考虑Tot函子的整体性质整块内容也没啥需要证明的, 摸了.👻 Stack Project 里面有很全的内容.

Yoneda lemma的同调代数版本. 这是个很神奇的事情, 可以通过natural transformation 和Ext函子来计算一些函子的左导出函子. 整体的证明参考了论文The Yoneda isomorphism commutes with homology