这次是kunneth formula, 以及kunneth formula的直接推论, 同调万有系数定理和上同调万有系数定理. 没有学过代数拓扑所以基本上是从直观角度理解这个几个定理: 上同调万有系数定理应用比较直观, 直接给出了homology和cohomology之间的计算以及转换关系. 同调万有系数定理我觉得是在说这样一件事: 在改变定义同调时使用的系数环的情况下同调会发生什么样的变化. 这几个定理的证明说简单也简单, 也就是导出长正合列之后计算的事, 但是说复杂也很复杂, 这几个kernel都不是人算的. 这应该是一辈子只需要证明一次的定理, 使用比证明更加重要. P.S. kunneth formula 的证明可能有一点bug.(；′⌒`)

这部分是double complex的一些内容, 内容比较少, 主要就是为了给后面的kunneth formula有个基本的定义啥的, 不考虑Tot函子的整体性质整块内容也没啥需要证明的, 摸了.👻 Stack Project 里面有很全的内容.

Yoneda lemma的同调代数版本. 这是个很神奇的事情, 可以通过natural transformation 和Ext函子来计算一些函子的左导出函子. 整体的证明参考了论文The Yoneda isomorphism commutes with homology

这一节Ext函子和Tor函子, 大部分内容是上一章的直接推论, 唯一一个不平凡的定理择时对双函子Hom导出会得到相同的结果. 本节后半部分是关于这俩导出函子的计算的, 这俩函子的计算十分富有技巧性, 全写上来会很长. 最后部分的表格参考了Xiong Rui的小册子.

就着懒狗的本性, abelian category的内容就不抄上来了, 反正abelian category都是大家熟知的一些内容. 😊

Homological algebra里的经典导出函子理论, 主要抄书参考 gtm4, 这一节暂时没有涉及到导出函子的计算理论, 以后有空补上. (；′⌒`)

Resolution, 构造projective, injective, free和flat解消能够用来计算一系列导出函子. Resolution也是定义导出函子的前置. 这一节主要考虑projective resolution.

Homological algebra初步, 对一些homotopy性质的讨论. Homology函子将homotopic的morphism映射到相同的morphism, 这是以后讨论homotopy需要用到的最根本的性质之一.

以及这个homotopy定义实在是抽象.

Homological algebra初步的初步. Chain complex的定义以及一些性质.

再没有tikz-cd我要死了.

一个含有direct sum的short exact sequence但不是split short exact sequence的例子.