本文为2024年暑假我于HKUST作的summer research program报告chaoshubiji. 在此我希望对港科的Li Weiping老师表示由衷的感谢. Li教授在代数几何方面学问广博, 平易近人, 他的教学深明大义, 向我揭示了模空间这一宏伟理论的一隅. 我因为水平有限, 难以形成自己的成果, 只能抄书作为报告, 实在惭愧.

以下是introduction 的部分简译:

模空间的存在性长期以来都作为代数几何的研究热点. 我们对是否存在一类能够"参数化"几何对象的空间感兴趣, 更进一步的, 如果这类空间存在, 它是否能够作为scheme? 它是否proper? coherent sheaf over $X$ 的模空间 $\mathfrak{M}$ 蕴含了许多$X$ 本身的几何信息. 然而, $\mathfrak{M}$ 并不总是存在. 许多情况下, 我们想要参数化的一族对象过"大", 导致 $\mathfrak{M}$ 无法成为scheme, 因此我们希望研究有某些特殊性质的coherent sheaf 构成的模空间. 本文讨论的主要为具有固定的Hilbert polynomial 的一族torsion-free sheaf 形成的模空间. 而想要研究这一类模空间, 首先要解决的问题是$\mathfrak{F}$ 这一族coherent sheaf是否有界, 也就是当模空间$\mathfrak{M}$存在时, 它是否是finite type over base field的.

WARNING: 本文可能不适合人类阅读, 因为有着一堆跳步以及个人记号.

这篇文章来自于我对moduli space 的一些初步了解. 主要抄了 Birkar 的 Topics in Algebraic Geometry 以及Harvard 的MATH259 的notes.

何谓moduli space? Fine moduli space $\mathcal{M}$ 即是对moduli functor $F$ 的一个representative. 说人话就是对于任意 scheme $T$ over base $S$, 我们有 $F(T)\cong \mathcal{M}(T)$, 这里$\mathcal{M}(T)$ 是 $T$-points of $\mathcal{M}$. 我们同时可以考虑$\mathcal{M}(\mathcal{M})$ 中的$id_{\mathcal{M}}$ 以及其所对应的$F(\mathcal{M})$ 中的元素$\mathfrak{U}$, 这个$\mathfrak{U}$ 叫做universal family. 取出这个$\mathfrak{U}$ 有什么好处呢? 如果我们考虑$F(T)$ 中的另一个元素$\mathfrak{V}$, 通过一个类似Yoneda lemma 的讨论, 可以证明$\mathfrak{V}$ 是$\mathfrak{U}$ 的一个通过$\mathcal{M}(T)$ 中的某一个点的pullback, 即这些元素和fibre 能够做出一个对应.

本文中讨论的Hilbert scheme 以及 Quot scheme 就是最为简单的fine moduli space 的例子, 这部分工作被记录与Grothendieck 的FGA. 同样也可以想一想如果把global section functor 作为一个moduli functor, 那么它是否存在fine moduli space 呢? 如果存在, 这个space 是什么以及上面的universal family 又是什么呢?

Ans: $\mathbb{A}_{S}^{1}$ and $x\in \mathcal{O}_{S}[x]$.